На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Из определения синуса вытекают очевидные свойства.
На рисунке видно, что 
т.к. это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции :
1) Область определения:
2) Область значений: 
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс: 
6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума: 
12) Минимум функции:
13) Точки максимума: 
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.
А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = sin х, ее основные свойства и график. В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = sin t на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=sinx, её основные свойства и график
При рассмотрении функции важно каждому значению аргумента поставить в соответствие единственное значение функции. Этот закон соответствия и называется функцией.
Определим закон соответствия для .
Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Из определения синуса вытекают очевидные свойства.
На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент - это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.
Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)
Мы получили график функции на участке Но зная период синуса мы можем изобразить график функции на всей области определения (рис. 3).
Основным периодом функции является Это значит, что график можно получить на отрезке а затем продолжить на всю область определения.
Рассмотрим свойства функции :
1) Область определения:
2) Область значений:
3) Функция нечетная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения графика с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения графика с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума:
12) Минимум функции:
13) Точки максимума:
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели свойства функции и её график. Свойства неоднократно будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.
А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().
\(\sin \alpha = \dfrac{|BC|}{|AB|} \) , \(\cos \alpha = \dfrac{|AC|}{|AB|} \)
α - угол, выраженный в радианах.
Синус (sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AB|.
Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AC| к длине гипотенузы |AB|.
С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.
На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.
Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса
Косинус угла - это абсцисса точки. Синус угла - это ордината точки.
На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.
Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол. На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.
Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях
Нулевой угол \(\LARGE 0^{\circ } \)
Абсцисса точки 0 равна 1 , ордината точки 0 равна 0 . Следовательно,
cos 0 = 1 sin 0 = 0
Рис 4. Нулевой угол
Угол \(\LARGE \frac{\pi}{6} = 30^{\circ } \)
Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30° . Как известно, катет, лежащий напротив угла 30° , равен половине гипотенузы 1 ; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,
\[ \sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2} \]
Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):
\[ \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\frac{\sqrt{3} }{2} \]
1 Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.
Рис 5. Угол π / 6
Угол \(\LARGE \frac{\pi}{4} = 45^{\circ } \)
В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x . Имеем:
\[ x^{2} + x^{2} = 1 \]
откуда \(x=\frac{\sqrt{2} }{2} \). Следовательно,
\[ \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} \]
Рис 5. Угол π / 4
\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \) \(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \) \(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \) \(\sin^{-1} x \equiv \arcsin x \) \((\sin x)^{-1} \equiv \dfrac1{\sin x} \equiv \cosec x \) .
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \) \(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \) \(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \) \(\cos^{-1} x \equiv \arccos x \) \((\cos x)^{-1} \equiv \dfrac1{\cos x} \equiv \sec x \) .
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \) \(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.
\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \) \(\cos(-x) = \cos x \)
Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).
| \(\small < x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small < x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Убывание | \(\small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) \(\small < x < \) \(\small \dfrac{3\pi}2 + 2\pi n \) | \(\small 2\pi n \) \(\small < x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Максимумы, \(\small x = \) \(\small \dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) | \(\small x = 2\pi n \) | |
| Минимумы, \(\small x = \) \(\small -\dfrac{\pi}2 + 2\pi n \) | \(\small x = \) \(\small \pi + 2\pi n \) | |
| Нули, \(\small x = \pi n \) | \(\small x = \dfrac{\pi}2 + \pi n \) | |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)
\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \sin x \)
; \(\sin\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \)
; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
\(\sin x \cos y = \)
\(\dfrac12 {\Large [} \sin(x - y) + \sin(x + y) {\Large ]} \)
\(\sin x \sin y = \)
\(\dfrac12 {\Large [} \cos(x - y) - \cos(x + y) {\Large ]} \)
\(\cos x \cos y = \)
\(\dfrac12 {\Large [} \cos(x - y) + \cos(x + y) {\Large ]} \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 {\Large [} 1 - \cos 2x {\Large ]} \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 {\Large [} 1 + \cos 2x {\Large ]} \)
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x-y}2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \sin \dfrac{y-x}2 \)
\(\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \) \(\cos\left(x - \dfrac{\pi}2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac{\pi}2 \right) \) \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \) \(\{ 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \} \) \(\sin x = - \sqrt{1 - \cos^2 x} \) \(\{ -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \} \) .
\(\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}2 - x \right) = \) \(- \sin\left(x - \dfrac{\pi}2 \right) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}2 \right) \) \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \) \(\{ -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \} \) \(\cos x = - \sqrt{1 - \sin^2 x} \) \(\{ \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \} \) .
\(\sin^2 x = \dfrac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x} \) \(\cos^2 x = \dfrac1{1+\tg^2 x} \) .
При \(- \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \) \(\cos x = \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \) .
При \(\dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)
\(\cos x = - \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)
.
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Таблица синусов и косинусов" title="Таблица синусов и косинусов" ]
\(i^2 = -1 \)
\(\sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \)
\(\cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \)
\(e^{iz} = \cos z + i \sin z \)
\(\sin iz = i \sh z \)
\(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \)
\(\ch iz = \cos z \)
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
\(\left(\sin x \right)^{(n)} = \sin\left(x + n\dfrac{\pi}2 \right) \)
\(\left(\cos x \right)^{(n)} = \cos\left(x + n\dfrac{\pi}2 \right) \)
.
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)
\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>
\(\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n+1} }{ (2n+1)! } = \)
\(x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
\(\{- \infty < x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n} }{ (2n)! } = \)
\(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
\(\{ - \infty < x < \infty \} \)
\(\sec x = \dfrac1{ \cos x } ; \) \(\cosec x = \dfrac1{ \sin x } \)
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.
\(y = \arcsin x \)
\(\left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)
\(\sin(\arcsin x) = x \)
\(\arcsin(\sin x) = x \)
\(\left\{ - \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)
\(y = \arccos x \)
\(\left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\} \)
\(\cos(\arccos x) = x \)
\(\{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)
\(\arccos(\cos x) = x \)
\(\{ 0 \leqslant x \leqslant \pi \} \)
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Функция y = sin x
Графиком функции является синусоида.
Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.
Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).
Свойства функции
y
=
sin
x
:
3) Это нечетная функция. 4) Это непрерывная функция.
6) На отрезке [-π/2; π/2] функция возрастает, на отрезке [π/2; 3π/2] – убывает. 7) На промежутках функция принимает положительные значения. 8) Промежутки возрастания функции: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Точки минимума функции: -π/2 + 2πn. |
Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:
На листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.
На оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x .
На оси y отметим 1, включающий две клетки.
Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x :
√3 | √3 |
Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке . Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].
Можно продолжить волну, построив ее и на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т.д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как на отрезке [-π; π]. Получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.
Функция y = cos x .
Графиком функции является синусоида (ее иногда называют косинусоидой).
Свойства функции y = cos x :
1) Область определения функции – множество действительных чисел. 2) Область значений функции – отрезок [–1; 1] 3) Это четная функция. 4) Это непрерывная функция. 5) Координаты точек пересечения графика: 6) На отрезке функция убывает, на отрезке [π; 2π] – возрастает. 7) На промежутках [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] функция принимает положительные значения. 8) Промежутки возрастания: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Точки минимума функции: π + 2πn. 10) Функция ограничена сверху и снизу. Наименьшее значение функции –1, 11) Это периодическая функция с периодом 2π (Т = 2π) |
Функция y = mf (x ).
Возьмем предыдущую функцию y
= cos x
. Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x
(либо сожмется, в зависимости от величины m).
Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.
Таким образом, функция y = mf(x) – это привычная нам функция y = f(x), умноженная на m.
Если m < 1, то синусоида сжимается к оси x на коэффициент m. Если m > 1, то синусоида растягивается от оси x на коэффициент m.
Выполняя растяжение или сжатие, можно сначала построить лишь одну полуволну синусоиды, а затем уже достроить весь график.
Функция y = f (kx ).
Если функция y = mf (x ) приводит к растяжению синусоиды от оси x либо сжатию к оси x , то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y либо сжатию к оси y .
Причем k – любое действительное число.
При 0 < k < 1 синусоида растягивается от оси y на коэффициент k. Если k > 1, то синусоида сжимается к оси y на коэффициент k.
Составляя график этой функции, можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а по ней достроить затем весь график.
Функция y = tg x .
Графиком функции y = tg x является тангенсоида.
Достаточно построить часть графика на промежутке от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить ее на промежутке от 0 до 3π/2.
Свойства функции y = tg x :
Функция y = ctg x
Графиком функции y = ctg x также является тангенсоида (ее иногда называют котангенсоидой).
Свойства функции y = ctg x :
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
;
;
.
;
;
.
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
;
;
;
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
