Мой лучистый сад

5 . В вертикальном сосуде в воде плавает кусок льда массой m1 = 5 кг, в который вмерз кусок свинца массой m2 = 0,1 кг. Какое количество теплоты надо сообщить этой системе, чтобы остаток льда со свинцом начал тонуть? Температура воды в сосуде равна 0 ˚С. Удельная теплота плавления льда равна 333 кДж/кг, плотность воды ρ0=1000 кг/м3, льда ρл=900 кг/м3, свинца ρсв=11300 кг/м3.

Вариант 2

1 . Балку длиной 10 м и массой 900 кг поднимают с постоянной скоростью в горизонтальном положении на двух параллельных тросах. Найти силы натяжения тросов, если один из них укреплен на конце балки, а другой – на расстоянии 1 м от другого конца.

2. Вокруг неподвижного заряда величиной 10 нКл движется по окружности радиусом 1 см заряд противоположного знака. Один оборот заряд совершает за 2p секунд. Найти отношение заряда к массе для движущегося заряда. Электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.

3. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода обращения Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти, во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца.

4 . Свинцовая пуля пробивает деревянную стенку, причем скорость ее меняется от 400 м/с вначале до 100 м/с в момент вылета. Какая часть пули расплавилась, если на ее нагревание идет 60% потерянной механической энергии? Температура пули до удара была равна 50 ˚С, температура плавления свинца 327 ˚С, удельная теплоемкость свинца суд = 125,7 Дж/кг К, удельная теплота плавления свинца l = 26,4 кДж/кг.

5. На поверхность металлического электрода в вакуумном фотоэлементе падает поток света с длиной волны l = 0,4 мкм, мощность которого Р = 5 мВт. Определить силу фототока насыщения в этом фотоэлементе, если 5% всех падающих фотонов выбивают из металла электроны.

Вариант 3

1 . Источник монохроматического света мощностью 40 Вт испускает 1,2.1020 фотонов в секунду. Определить длину волны излучения. Постоянная Планка h = c = 3·108 м/с.

2 . Стальной шарик радиусом r = 2 см лежит на дне реки глубиной h = 3 м. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поднять шарик на высоту Н = 2 м над поверхностью воды? Плотность воды ρ о = 1000 кг/м3, плотность стали ρ = 7800 кг/м3.

3. Согласно теории Резерфорда-Бора электрон в атоме водорода движется по круговой орбите радиусом R = 0,05 нм. Какова в этом случае его скорость? Масса электрона me = 9,11·10-31 кг, элементарный заряд e = 1,6·10-19 Кл, электрическая постоянная ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.

4. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находящихся на расстоянии 500 млн. км друг от друга. Масса каждой звезды равна 1,5.1034 кг. Найти период обращения звезд вокруг общего центра масс.

5. В алюминиевый чайник налили 2 л воды при температуре t = 20 ˚С и поставили на электроплитку с КПД = 75%. Мощность плитки N = 2 кВт, масса чайника М = 500 г. Через какое время масса воды в чайнике уменьшится на ∆ m = 100 г? Удельная теплота испарения воды равна 2,25 МДж/кг, ее удельная теплоемкость – 4190 Дж/кг, удельная теплоемкость алюминия – 900 Дж/кг.

Вариант 4

1. На каком расстоянии от центра Луны тело притягивается к Земле и к Луне с одинаковой силой? Принять, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между их центрами равно 380 тыс. км.

2. Из однородного диска радиусом 105,6 см вырезан квадрат, как показано на рисунке. Определить положение центра масс диска с таким вырезом.

3. Газ находился в сосуде под давлением P = 0,2 МПа при температуре t = 127 ˚С. Затем 1/6 часть газа выпустили из сосуда, а температуру оставшейся части газа понизили на Dt = 10 ˚С. Каким стало давление оставшегося газа?

4 . Определить длину волны фотона, имеющего энергию, равную кинетической энергии электрона, ускоренного разностью потенциалов Dj = 2 В. Элементарный заряд e h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.

5. Горизонтальное магнитное поле с индукцией В = 0,52 Тл направлено параллельно наклонной плоскости, с которой соскальзывает с постоянной скоростью υ = 5 м/с заряженное тело массой m = 2 мг. Найти заряд этого тела, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30˚, а коэффициент трения тела о плоскость k = 0,5.

Вариант 5

1. К средней точке натянутого горизонтально невесомого провода длиной 40 м подвешен груз массой 17 кг. Вследствие этого провод провис на 10 см. Определить силу натяжения провода.

3. Считая орбиты планет круговыми, найти отношение линейных скоростей движения Земли и Юпитера вокруг Солнца υЗ: υЮ. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода обращения Земли.

4. Паровой молот массой М = 10 т падает с высоты h = 2,5 м на железную болванку массой m = 200 кг. Сколько раз он должен упасть, чтобы температура болванки поднялась на ∆ t = 40 ˚С? На нагревание болванки идет 60% энергии, выделенной при ударах. Удельная теплоемкость железа равна 460 Дж/кг.

5. Электромагнитное излучение с длиной волны l = 50 нм вырывает в вакууме с поверхности титана фотоэлектроны, которые попадают в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл. Найти радиус окружности, по которой начнут двигаться электроны, если их скорость перпендикулярна линиям индукции магнитного поля, а работа выхода электронов с поверхности титана равна 4 эВ. Элементарный заряд e = 1,6·10-19 Кл, постоянная Планка h = 6,63·10-34 Дж·с, скорость света c = 3·108 м/с.

Массы звезд. Как мы убедились на примере Солнца, масса звезды является той важнейшей характеристикой, от которой зависят физические условия в ее недрах. Прямое определение массы возможно лишь для двойных звезд.

Двойные звезды называются визуально-двойными, если их двойственность может быть замечена при непосредственных наблюдениях в телескоп.

Примером визуально-двойной звезды, видимой даже невооруженным глазом, является с, Большой Медведицы, вторая звезда с конца "ручки" ее "ковша". При нормальном зрении совсем близко от нее видна вторая слабая звездочка. Ее заметили еще древние арабы и назвали Алькор (Всадник). Яркой звезде они дали название Мицар . Мицар и Алькор отстоят друг от друга на небе на 11". В бинокль таких звездных пар можно найти немало.

Системы с числом звезд n≥З называются кратными . Так, в бинокль видно, что ε Лиры состоит из двух одинаковых звезд 4-й звездной величины с расстоянием между ними 3". При наблюдении в телескоп ε Лиры - визуально-четверная звезда. Однако некоторые звезды оказываются лишь оптически-двойными , т. е. близость, таких двух звезд является результатом случайной проекции их на небо. На самом деле в пространстве они далеки друг от друга. Если же при наблюдении звезд выясняется, что они образуют единую систему и обращаются под действием сил взаимного притяжения вокруг общего центра масс, то их называют физическими двойными .

Множество двойных звезд открыл и изучил известный русский ученый В. Я. Струве. Самые короткие из известных периодов обращения визуально-двойных звезд - несколько лет. Изучены пары с периодами обращения в десятки лет, а пары с периодами в сотни лет изучат в будущем. Ближайшая к нам звезда а Центавра является двойной. Период обращения ее составляющих (компонентов) 70 лет. Обе звезды в этой паре по массе и температуре сходны с Солнцем.

Главная звезда обычно не находится в фокусе видимого эллипса, описываемого спутником, потому что мы видим его орбиту в проекции искаженной (рис. 73). Но знание геометрии позволяет восстановить истинную форму орбиты и измерить ее большую полуось а в секундах дуги. Если известно расстояние D до двойной звезды в парсеках и большая полуось орбиты звезды-спутника в секундах дуги, равная а", то в астрономических единицах она будет равна:

так как D пк = 1 / р" .

Сравнивая движение спутника звезды с движением Земли вокруг Солнца (для которой период обращения Т =1 год, а большая полуось орбиты а =1 а. е.), мы по III зэкону Кеплера можем написать:

где m 1 и m 2 - массы компонентов в паре звезд, М и М - массы Солнца и Земли, а T - период обращения пары в годах. Пренебрегая массой Земли в сравнении с массой Солнца, мы получаем сумму масс звезд, составляющих пару, в массах Солнца:

Чтобы определить массу каждой звезды, надо изучить движение компонентов относительно окружающих звезд и вычислить их расстояния А 1 и А 2 от общего центра масс. Тогда получим второе уравнение m 1:m 2 =А 2:А 1 и из системы двух уравнений найдем обе массы отдельно.

Двойные звезды в телескоп нередко представляют собой красивое зрелище: главная звезда желтая или оранжевая, а спутник белый или голубой.

Если компоненты двойной звезды при взаимном обращении подходят близко друг к другу, то даже в самый сильный телескоп их нельзя видеть раздельно. В этом случае двойственность может быть определена по спектру. Такие звезды будут называться спектрально-двойными . Из-за эффекта Доплера линии в спектрах звезд будут смещаться в противоположные стороны (когда одна звезда удаляется от нас, другая приближается). Смещение линий меняется с периодом, равным периоду обращения пары. Если яркости и спектры звезд, составляющих пару, сходны, то в спектре двойной звезды наблюдается периодически повторяющееся раздвоение спектральных линий (рис. 74). Пусть компоненты занимают положения А 1 и В 1 или A 3 и В 3 , тогда один из них движется к наблюдателю, а другой - от него (рис. 74, I, III). В этом случае наблюдается раздвоение спектральных линий. У приближающейся звезды спектральные линии сместятся к синему концу спектра, а у удаляющейся - к красному. Когда же компоненты двойной звезды занимают положения А 2 и В 2 или A 4 и В 4 (рис. 74, II, IV), то оба они движутся под прямым углом к лучу зрения и раздвоения спектральных линий не получится.

Если одна из звезд светится слабо, то будут видны линии только другой звезды, смещающиеся периодически.

Компоненты спектрально-двойной звезды могут при взаимном обращении поочередно загораживать друг друга. Такие звезды называются затменно-двойными или алголями, по названию своего типичного представителя β Персея. Во время затмений общая яркость пары, компонентов которой мы по отдельности не видим, будет ослабевать (положения В и D рис. 75.) В остальное же время в промежутках между затмениями она почти постоянна (положения А и С) и тем дольше, чем короче длительность затмений и чем больше радиус орбиты. Если спутник большой, но сам дает мало света, то когда яркая звезда затмевает его, суммарная яркость системы будет уменьшаться лишь ненамного.

Древние арабы назвали β Персея Алголем (испорченное эль гуль), что означает "дьявол". Возможно, что они заметили ее странное поведение: в течение 2 дней 11 ч яркость Алголя постоянна, затем за 5 ч она ослабевает от 2,3 до 3,5 звездной величины, а затем за 5 ч яркость ее возвращается к прежнему значению.

Анализ кривой изменения видимой звездной величины в функции времени позволяет установить размеры и яркость звезд, размеры орбиты, ее форму и наклон к лучу зрения, а также массы звезд. Таким образом, затменно-двойные звезды, наблюдаемые также и в качестве спектрально-двойных, являются наиболее хорошо изученными системами. К сожалению, таких систем известно пока сравнительно мало.

Периоды известных спектрально-двойных звезд и алголей в основном короткие - около нескольких суток.

В общей сложности двойственность звезд очень распространенное явление. Статистика показывает, что до 30% всех звезд, вероятно, являются двойными.

Определенные описанными методами массы звезд различаются гораздо меньше, чем их светимости: примерно от 0,1 до 100 масс Солнца. Очень большие массы встречаются крайне редко. Обычно звезды обладают массой меньше пяти масс Солнца.

Именно масса звезд обусловливает их существование и природу как особого типа небесных тел, для которых характерна высокая температура недр (свыше 10 7 К) - Происходящие при такой температуре ядерные реакции превращения водорода в гелий являются у большинства звезд источником излучаемой ими энергии. При меньшей массе температура внутри небесных тел не достигает тех значений, которые необходимы для протекания термоядерных реакций.

Эволюция химического состава вещества во Вселенной происходила и происходит в настоящее время главным образом благодаря звездам. Именно в их недрах идет необратимый процесс синтеза более тяжелых химических элементов из водорода.

Пример решения задачи

Задача. У двойной звезды период обращения 100 лет. Большая полуось видимой орбиты а = 2,0", а параллакс ρ = 0,05". Определите сумму масс и массы звезд в отдельности, если звезды отстоят от центра масс на расстояниях, относящихся как 1:4.

Упражнение 21

1. Определите сумму масс двойной звезды Капеллы, если большая полуось ее орбиты равна 0,85 а. е., а период обращения составляет 0,285 года.

2. Если бы по орбите Земли двигалась звезда с такой же массой, как у Солнца, каков был бы период ее обращения?

2. Размеры звезд. Плотность их вещества

Покажем на простом примере, как можно сравнить размеры звезд одинаковой температуры, например Солнца и Капеллы (α Возничего). Эти звезды имеют одинаковые спектры, цвет и температуру, но светимость Капеллы в 120 раз превышает светимость Солнца. Так как при одинаковой температуре яркость единицы поверхности звезд тоже одинакова, то, значит, поверхность Капеллы больше, чем поверхность Солнца, в 120 раз, а диаметр и радиус ее больше солнечных в раз.

Определить размеры других звезд позволяет знание законов излучения.

Так, в физике установлено, что полная энергия, излучаемая в единицу времени с 1 м 2 поверхности нагретого тела, равна: i = σТ 4 , где σ - коэффициент пропорциональности, а T - абсолютная температура * . Относительный линейный диаметр звезд, имеющих известную температуру Т, находят из формулы

* (Закон Стефана - Болыдмана установлен австрийскими физиками Й. Стефаном (экспериментально) и Л. Больцманом. )

где r - радиус звезды, i - излучение единицы поверхности звезды, r, i, T относятся к Солнцу, a L= l. Отсюда

в радиусах Солнца.

Результаты таких вычислений размеров светил полностью подтвердились, когда стало возможным измерять угловые диаметры звезд при помощи особого оптического прибора (звездного интерферометра).

Звезды очень большой светимости называются сверхгигантами. Красные сверхгиганты оказываются такими и по размера (рис. 76). Бетельгейзе и Антарес в сотни раз больше Солнца по диаметру. Более далекая от нас VV Цефея настолько велика, что внутри нее поместилась бы Солнечная система с орбитами планет до орбиты Юпитера включительно! Между тем массы сверхгигантов больше солнечной всего лишь в 30-40 раз. В результате даже средняя плотность красных сверхгигантов в тысячи раз меньше, чем плотность комнатного воздуха.

При одинаковой светимости размеры звезд тем меньше, чем эти звезды горячее. Самыми малыми среди обычных звезд являются красные карлики. Массы их и радиусы - десятые доли солнечных, а средние плотности в 10-100 раз выше, чем плотность воды. Еще меньше красных белые карлики - но это уже необычные звезды.

У близкого к нам и яркого Сириуса (имеющего радиус примерно вдвое больше солнечного) есть спутник, обращающийся вокруг него с периодом 50 лет. Для этой двойной звезды расстояние, орбита и массы хорошо известны. Обе звезды белые, почти одинаково горячие. Следовательно, поверхности одинаковой площади излучают у этих звезд одинаковое количество энергии, но по светимости спутник в 10 000 раз слабее, чем Сириус. Значит, его радиус меньше в √10000= 100 раз, т. е. он почти такой же, как Земля. Между тем масса у него почти как у Солнца! Следовательно, белый карлик имеет громадную плотность - около 10 9 кг/м 3 . Существование газа такой плотности было объяснено следующим образом: обычно предел плотности ставит размер атомов, являющихся системами, состоящими из ядра и электронной оболочки. При очень высокой температуре в недрах звезд и при полной ионизации атомов их ядра и электроны становятся независимыми друг от друга. При колоссальном давлении вышележащих слоев это "крошево" из частиц может быть сжато гораздо сильнее, чем нейтральный газ. Теоретически допускается возможность существования при некоторых условиях звезд с плотностью, равной плотности атомных ядер.

Мы еще раз видим на примере белых карликов, как астрофизические исследования расширяют представления о строении вещества; пока создать в лаборатории такие условия, какие есть внутри звезд, еще нельзя. Поэтому астрономические наблюдения помогают развитию важнейших физических представлений. Например, для физики громадное значение имеет теория относительности Эйнштейна. Из нее вытекает несколько следствий, которые можно проверить по астрономическим данным. Одно из следствий теории состоит в том, что в очень сильном поле тяготения световые колебания должны замедляться и линии спектра смещаться к красному концу, причем это смещение тем больше, чем сильнее поле тяготения звезды. Красное смещение было обнаружено в спектре спутника Сириуса. Оно вызвано действием сильного поля тяготения на его поверхности. Наблюдения подтвердили это и ряд других следствий теории относительности. Подобные примеры тесной взаимосвязи физики и астрономии характерны для современной науки.

Пример решения задачи

Задача. Во сколько раз Арктур больше Солнца, если светимость Арктура 100, а температура 4500 К?

Упражнение 22

1. Во сколько раз Ригель имеет большую светимость, чем Солнце, если его параллакс равен 0,0069", а видимая звездная величина 0,34?

2. Какова средняя плотность красного сверхгиганта, если его диаметр в 300 раз больше солнечного, а масса в 30 раз больше, чем масса Солнца?

Период обращения Венеры вокруг Солнца равен Т В = 0,615 Т З =224,635 суток = 224,635 24 3600с=1,941 10 7 с.

Таким образом,

r = 2/3 =1,17 10 11 м.

Ответ: r=1,17 10 11 м.

Пример 2: Две звезды массами m 1 и m 2 , находящиеся на расстоянии r, обращаются вокруг центра масс звезд. Чему равен период обращения звезд?

Решение: 1) Определим сначала положение центра масс системы из двух звезд относительно первой звезды r 1 (т.С на рис.)

r 1 = (m 1 0 + m 2 r)/(m 1 + m 2) = m 2 r/(m 1 + m 2).

2) Для первой звезды уравнение движения (1) имеет вид:

m 1 v 1 2 /r 1 = G m 1 m 2 / r 2

Заменив, согласно (2), скорость v 1 , получим выражение для периода обращения:

Т= 2π r 1/2 .

После замены r 1 получим ответ:

Т= 2π r 1/2 .

Пример 3: Чему равны первая и вторая космические скорости для космического тела массой 10 30 т и

радиусом 8 10 8 км?

Решение: 1) Первую космическую скорость необходимо сообщить космическому аппарату, чтобы он превратился в искусственный спутник космического тела. Согласно выражению (3): v 1 =(GМ/R) 1/2 . Подставив числовые значения получим:

v 1 = 1/2 =2,9 10 5 м/с.

2) При сообщении аппарату второй космической скорости он навсегда покидает зону притяжения планеты. Её можно определить, используя закон сохранения и превращения энергии - кинетическая энергия, сообщаемая аппарату, расходуется на преодоление гравитационного притяжения аппарата к планете.

Согласно выражению (4): v 2 =(2GМ/R) 1/2 = 4,1 10 5 м/с.

Ответы: v 1 =2,9 10 5 м/с.

v 2 =4,1 10 5 м/с.

Пример 4: Определить угловой диаметр Юпитера α в момент наибольшего сближения Земли и Юпитера

(в радианах и угловых минутах) .

Решение: На рисунке: D=2R – диаметр Юпитера;

r =r Ю-С – r З-С - расстояние наибольшего сближения Земли и Юпитера; α – угловой диаметр Юпитера.

Из рисунка легко получить: (2R /2)/r = tg(α/2)≈ α/2 и:

α = 2R/(r Ю-С – r З-С)).

Радиус Юпитера R=71398км и расстояния Юпитер-Солнце r Ю-С =778,3 млн.км и Земля-Солнце

r З-С =149,6 млн.км берем из таблицы 1.

α = 2 71398 10 3 /[(778,3– 149,6) 10 9 ] = 0,2275 10 -3 рад.

Учитывая, что π=3,14 рад соответствует 180 60 угловым минутам, легко получить, что

α = 0,2275 10 -3 рад.= 0,7825΄.

Ответ: α = 0,2275 10 -3 рад.= 0,7825΄.

Условия задач.

1. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Солнца.

2. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Меркурия.

3. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Венеры.

4. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Марса.

5. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Юпитера.

6. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Сатурна.

7. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Урана.

8. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Нептуна.

9. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Плутона.

10. Определить первую и вторую космические скорости на поверхности Луны.

11. Определить продолжительность года на Марсе.

12. Определить продолжительность года на Меркурии.

13. Определить продолжительность года на Венере.

14. Определить продолжительность года на Юпитере.

15. Определить продолжительность года на Сатурне.

16. Определить продолжительность года на Уране.

17. Определить продолжительность года на Нептуне.

18. Определить продолжительность года на Плутоне.

19. Период вращения двух звезд массами m 1 =2 10 32 кг и m 2 =4 10 34 кг вокруг общего центра масс равен 3,8 лет. Чему равно расстояние между звездами?

20. Период вращения двух звезд массами m 1 =2 10 30 кг и m 2 =4 10 31 кг вокруг общего центра масс равен 4,6 лет. Чему равно расстояние между звездами?

21. Две звезды, находящиеся на расстоянии r= 7 10 13 м, вращаются вокруг общего центра масс с периодом, равным Т=7,2 года. Чему равна масса одной из звезд m 1 , если масса второй звезды m 2 равна 4 10 32 кг?

22. Две звезды, находящиеся на расстоянии r= 5 10 10 м, вращаются вокруг общего центра масс с периодом, равным Т=12 лет. Чему равна масса одной из звезд m 1 , если масса второй звезды m 2 равна 8 10 33 кг?

23. Определить видимые угловые диаметры Нептуна в моменты наибольшего

и наименьшего сближений Земли и Нептуна.

24. Определить видимые угловые диаметры Марса в моменты наибольшего

и наименьшего сближений Земли и Марса.

25. Определить видимые угловые диаметры Венеры в моменты наибольшего

и наименьшего сближений Земли и Венеры.

26. Определить видимые угловые диаметры Сатурна в моменты наибольшего и наименьшего сближений Земли и Сатурна.

27. Период обращения малой планеты Цереры вокруг Солнца равен 4,71 земного года, а Марса – 1,88 земного года. На каком среднем расстоянии от Солнца находится Церера?

28. Период обращения малой планеты Паллады вокруг Солнца равен 4,6 земного года, а Венеры–227,7 земных суток. На каком среднем расстоянии от Солнца находится Паллада?

29. В Галактике с красным смещением в спектре, соответствующим скорости удаления 20 000 км/с, вспыхнула сверхновая звезда. Определить расстояние до этой звезды.

30. Шаровое звездное скопление находится от нас на расстоянии 320 Мпк. С какой скоростью оно удаляется от нас?

4.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Основные формулы и законы.

1. Закон всемирного тяготения F = G m 1 m 2 / r 2 (1),

где m 1 и m 2 – массы взаимодействующих тел,

r – расстояние между ними,

G=6,6726 10 -11 м 3 /(кг с 2)– гравитационная постоянная.

2. При вращении сгустка вещества массой m вокруг центрального тела массой М распад сгустка (его фрагментация) начинается, когда центробежная сила, действующая на сгусток начинает превосходить силу тяготения между сгустком и центральным телом, т.е., когда

m ω 2 r≥ G m M / r 2 (2).

3. Закон Кулона: F = к q 1 q 2 /(ε r 2) (3) ,

где к=1/(4πε 0)=9 10 9 Н м 2 /Кл 2 ; ε 0 =8,85 10 -12 Кл 2 / (Н м 2) – электрическая постоянная; ε –диэлектрическая проницаемость вещества; q 1 и q 2 – электрические заряды взаимодействующих тел; r – расстояние между ними.

4. Сила Ампера: F A =I B ℓ sinα (4),

где I-сила тока в проводнике длиной ℓ, находящемся в магнитном поле с индукцией В; α- угол между направлением тока (вектором ℓ ) и вектором В .

5. Сила Лоренца: F Л =q B v sinα (5),

где q-электрический заряд частицы, влетающей в магнитное поле с индукцией В со скоростью v под углом α к вектору индукции В .

6. Уравнение движения заряженной частицы массы m и заряда q в электрическом поле напряженностью Е :

m a = q E (6)

Примеры решения задач

Пример 1: Определить, во сколько раз сила притяжения на Земле больше силы притяжения на Марсе.

Решение: Согласно формуле (1), сила притяжения к Земле тела массой m:

F З = G m М З / R З 2 ,

где М З и R З – масса и радиус Земли, соответственно.

Аналогично, для силы притяжения на Марсе:

F М = G m М М / R М 2 .

Поделив эти два равенства одно на другое получаем после сокращения одинаковых величин:

F З / F М = М З R М 2 / (R З 2 М М).

Возьмем значения масс и радиусов планет из таблицы 1.

М З =5,976 10 24 кг; R З =6371км=6,371 10 6 м;

М М =0,6335 10 24 кг; R М =3397км=3,397 10 6 м.

Подставив, получим:

F З /F М =(5,976 10 24 /0,6335 10 24) (3,397 10 6 /6,371 10 6) 2 =2,7

Ответ: в 2,7 раза.

Пример 2: При полете к Венере космический аппарат проходит точку, где силы притяжения аппарата к Земле и к Венере взаимно компенсируют друг друга.На каком расстоянии от Земли находится эта точка? При расчете пренебречь действием всех других космических тел. Считать, что Земля и Венера находятся на минимальном удалении друг от друга..

Решение: Сумма сил тяготения к Земле и к Венере должна быть равна нулю, или иначе, модули этих сил должны быть равны: F З = F B:

G m М З / r З 2 = G m М В / r В 2 (I),

где М З и М В -массы Земли и Венеры, соответственно, а

r З и r В –расстояния космического аппарата массой m от Земли и от Венеры, соответственно. Учтем, что

r В = R ЗВ - r З, где R ЗВ – расстояние от Земли до Венеры, которое равно R ЗС - R ВС – разности расстояний Земля-Солнце R ЗС и Венера-Солнце R ВС. Подставим все в выражение (I):

М З / r З 2 = М В /(R ЗС - R ВС - r З) 2 ,

откуда легко получим ответ:

r З = (R ЗС - R ВС)/(1 +
) .

Расстояния и массы берем из таблицы 1.

М З = 5,976 10 24 кг; М В =4,8107 10 24 кг; R ЗС = 149,6млн.км; R ВС =108,2млн.км.

r З = (R ЗС - R ВС)/(1 +
)=

(149,6-108,2)/(1+)=

41,4/1,8972 = 21,823 млн.км

Ответ: r З =21,823 млн.км.

Пример 3:Протон влетает со скоростью v=5 10 4 м/с в магнитное поле индукцией В=0,1мТл перпендикулярно к силовым линиям. Определить:

А) радиус окружности, описываемой протоном;

В) период обращения протона;

Решение: Заряженная частица, влетающая в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, движется по окружности.

Ее движение описывается уравнением движения:

m v 2 /r = q v B.

Из этого соотношения легко получить выражение для радиуса r= m v/(q B) (I).

Eсли учесть, что скорость обращения v связана с периодом Т соотношением: v=2π r/T, то из (I) получим r=2π r m/(T q B), откуда период обращения равен:

Т= m 2π /(q B) (II).

Взяв величины заряда q=1,6 10 -19 Кл и массы

m=1,67 10 -27 кг протона в таблице справочных данных и подставив их в (I-II), найдем:

r=1,67 10 -27 5 10 4 /(1,6 10 -19 0,1 10 -3)=5,22м.

Т=1,67 10 -27 6,28/(1,6 10 -19 0,1 10 -3)=6,55с.

r =5,22м. Т =6,55с.

Условия задач

31. Во сколько раз отличаются силы притяжения Земли к Юпитеру и к Солнцу в момент времени, когда Земля находится на прямой, соединяющей центры Юпитера и Солнца?

32. Во сколько раз отличаются силы притяжения Земли к Сатурну и к Солнцу в момент времени, когда Земля находится на прямой, соединяющей центры Сатурна и Солнца?

33. Определить в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Солнца должна находиться ракета, чтобы результирующая сил притяжения Земли и Солнца была равна нулю.

34. С каким ускорением «падает» Земля на Солнце при своем движении вокруг Солнца?

35. Определить в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны должна находиться ракета. чтобы результирующая сил притяжения Земли и Луны была равна нулю.

36. Во сколько раз отличаются силы притяжения Луны к Земле и к Солнцу в момент времени, когда Луна находится на прямой, соединяющей центры Земли и Солнца?

37. Во сколько раз сила электростатического отталкивания двух протонов, находящихся на некотором расстоянии, больше их гравитационного притяжения?

38. Во сколько раз сила электростатического отталкивания двух α -частиц, находящихся на некотором расстоянии, больше их гравитационного притяжения?

39. Вокруг массивной звезды массой М=4 10 23 кг вращается сгусток вещества на расстоянии 10 6 км. При какой угловой скорости начинается фрагментация (распад на части) сгустка?

40. Вокруг массивной звезды массой М=4 10 25 кг вращается сгусток вещества на расстоянии 10 7 км. При какой угловой скорости начинается фрагментация (распад на части) сгустка?

41. Вокруг массивной звезды массой М=4 10 24 кг вращается сгусток вещества со скоростью 100м/с. Определить расстояние между звездой и сгустком, при котором происходит фрагментация (распад на части) сгустка.

42. Два тела, имеющие равные отрицательные электрические заряды, отталкиваются в воздухе с силой 5мкH. Определить число избыточных электронов в каждом теле, если расстояние между зарядами 5 см.

43. Заряд, равный q 1 =2 мкКл, помещен в среду с диэлектрической проницаемостью ε =2 на расстоянии 8 см от другого заряда q 2 . Определить знак и величину заряда q 2 , если заряды притягиваются с силой F=0,5мH.

44. Два точечных электрических заряда взаимодействуют в воздухе на расстоянии r 1 =3,9см с такой же силой, как и в непроводящей жидкости на расстоянии r 2 =3см. Чему равна диэлектрическая постоянная жидкости ε.

45. Протон ускоряется электрическим полем с напряженностью Е=2000 В/м.

С каким ускорением движется частица?

46. Заряженное тело массой m=10мг и зарядом q=2мкКл движется в электрическом поле с ускорением а=20м/с 2 . Чему равна напряженность электрического поля?

47. Под каким углом α к линиям индукции однородного магнитного поля должен быть расположен проводник с активной длиной =0,2м, по которому протекает ток силой I= 10А, чтобы поле с индукцией В=10мкТл действовало на проводник с силой F=10мкН?

48. Определить длину активной части прямолинейного проводника, помещенного в однородное магнитное поле с индукцией В=1мТл под углом α=60 0 к линиям индукции, если при силе тока I=8А на проводник дейст-

вует сила F=2мН.

49. Определить силу, действующую со стороны однородного магнитного поля с индукцией В=0,1мТл, на проводник длиной =0,4м, по которому протекает ток силой I=100 А и который расположен под углом α=45 0 к

линиям индукции.

50. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=0,1мТл со скоростью v=5 10 6 м/с перпендикулярно его линиям индукции. Определить

радиус окружности, по которой движется частица.

51. α -частица влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=100мкТл со скоростью v=3 10 5 м/с перпендикулярно силовым линиям. Определить максимальную силу, действующую на частицу со стороны поля.

52. Протон и α –частица влетают в однородное магнитное поле с индукцией В=2мТл перпендикулярно его линиям индукции. Определить периоды обращения этих частиц в магнитном поле

53. Согласно теории Бора атом водорода состоит из протона и электрона, вращающегося вокруг протона по круговой орбите. Радиус боровской орбиты в атоме водорода равен 0,53·10 -10 м. Чему равна скорость электрона в атоме?

54. Протон влетает в электрическое поле напряженностью 200В/м в направлении силовых линий с начальной скоростью v 0 =3 10 5 м/с. Определить импульс протона через 5 сек.

55. Частица с электрическим зарядом q=0,1 мкКл влетает в однородное магнитное поле с индукцией В= 0,1 мТл перпендикулярно его силовым линиям со скоростю v=3 10 3 м/с. С какой силой воздействует магнитное поле на частицу?

56. Во сколько раз сила притяжения на Юпитере отличается от силы притяжения на Солнце?

57. Чему равна масса звезды, если ее радиус в 100 раз больше земного, а сила притяжения на ее поверхности превышает аналогичную силу на Земле в 80 раз?

58.Чему равна масса звезды, если ее радиус в 1000 раз больше марсианского, а сила притяжения на ее поверхности превышает аналогичную силу на Марсе в 5 раз?

59. Во сколько раз сила притяжения на Юпитере отличается от силы притяжения на Сатурне?

60. Чему равна масса звезды, если ее радиус в 500 раз больше радиуса Венеры, а сила притяжения на ее поверхности превышает аналогичную силу на Венере в 7 раз?

4.3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА,

МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Основные формулы и законы

1. р=m v – импульс тела - характеристика поступа-

тельного движения..

2. Закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется: Σ i p i =const.

3. L=I ω=r p sinα –момент импульса – характеристика вращательного движения.

I – момент инерции тела, ω –его угловая скорость.

4. Закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса замкнутой системы тел сохраняется:

Σ i L i =const.

5. E K = m v 2 /2 –кинетическая энергия тела – энергия поступательного движения.

E K = I ω 2 /2 – кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси.

E K = m v 2 /2 + I ω 2 /2 – кинетическая энергия катящегося тела.

6. Е Р =f(r) – потенциальная энергия тела; зависит от положения тела по отношению к другим телам.

E P =G m 1 m 2 /r –энергия гравитационного взаимодействия двух тел;

Е Р =m g h-потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли;

Е Р = к Δх 2 /2 потенциальная энергия упруго деформированного тела

(к- коэффициент упругости (жесткости));

Е Р =к q 1 q 2 /(ε r)- энергия электростатического взаимодействия заряженных тел, где

к=1/(4πε 0)=9 10 9 Н м 2 /Кл 2 ; ε 0 =8,85 10 -12 Кл 2 /(Н м 2) - электрическая постоянная;

7. Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия Е замкнутой системы тел сохраняется: Е=Σ i (E K + Е Р) i = const.

Если система незамкнута, то совершается работа против внешних сил или же работу над системой совершают внешние силы. Оба этих случая приводят к изменению полной энергии системы: А=ΔЕ.

8. А=F s cosα – работа силы F .

А=q Δφ=ΔU –работа по перемещению электрического заряда q электрическим полем (U =Е Р -потенциальная энергия заряда в электрическом поле; φ потенциал данной точки поля; Δφ и ΔU- разности потенциалов и потенциальных энергий двух точек поля).

Примеры решения задач

Пример 1: Чему равна масса частицы, несущей электрический заряд q=1мкКл, если в электрическом поле с разностью потенциалов Δφ=100В ее скорость изменилась от v 1 =100м/с до v 2 =300м/с?

Решение: Работа сил электрического поля приводит к изменению кинетической энергии частицы: А= ΔЕ К или

q Δφ= m v 2 2 /2 - m v 1 2 /2.

Из этого выражения получим:

m=2 q Δφ/(v 2 2 -v 1 2)=2 10 -6 100/(300 2 -100 2)=2,5 10 -9 кг.

Ответ: m=2,5 10 -9 кг.

Пример 2: Какую скорость приобретут две одинаковые частицы, находящиеся на расстоянии r 1 =1см и имеющие массу m=1мг и электрический заряд q=2мкКл каждая, при разлете их до расстояния r 2 =5см?

Решение: В начальный момент времени полная энергия Е 1 системы из двух частиц это потенциальная энергия их электростатического отталкивания:

Е 1 = к q 1 q 2 /r = к q 2 /r 1 .

На расстоянии r 2 полная энергия Е 2 складывается из потенциальной энергии электростатического взаимодействия и кинетических энергий частиц:

Е 2 = к q 2 /r 2 + 2 m v 2 /2.

В соответствии с законом сохранения энергии: Е 1 = Е 2 , то есть

к q 2 /r 1 = к q 2 /r 2 + 2 m v 2 /2.

Из этого выражения легко получить:

v =

Подставим значения: r 1 =1см=0,01м; r 2 =5см=0,05м; m=1мг=10 -6 кг; к=9 10 9 Н м 2 /Кл 2 ; q=2мкКл=2 10 -6 Кл и получим v=1,7 10 3 м/с.

Ответ: v=1,7 10 3 м/с.

Пример 3: Платформа с песком общей масой М =1000кг стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд и застревает в нем. В момент попадания в платформу скорость снаряда составляла v 1 =200м/с и была направлена сверху вниз под углом α =60 0 к горизонту. Определить массу снаряда m, если в результате попадания платформа начала двигаться со скоростью v 2 =0,5м/c.

Решение: Для горизонтальных х-компонент импульсов можно применить закон сохранения импульса.

До удара импульс снаряда р 1х =m v 1 cosα; импульс платформы р 2х =0; и результирующая х-компонента импульса системы снаряд-платформа равна:

р 1х +р 2х =mv 1 cosα.

После удара импульс платформы и снаряда Р х =(m+M) v 2 . Согласно закону сохранения импульса:

р 1х + р 2х = Р х или m v 1 cosα=(m+M) v 2 .

Из этого выражения получаем окончательно:

m =M v 2 /(v 1 cosα -v 2)= 1000 0,5/(200 0,5 – 0,5) = 5,02кг

Ответ: m=5,02кг.

Пример 4:Однородный тонкий стержень массой М=200 г и длиной ℓ =50см может свободно вращаться в горизонтальной плоскости относительно вертикальной оси, проходящей через центр стержня. В один из концов стержня попадает и прилипает к нему пластилиновый шарик массой m=10г, летящий горизонтально и перпендикулярно стержню, в результате чего стержень начинает вращаться с угловой скоростью ω=3 рад/с. Определить скорость пластилинового шарика в момент удара.

Решение: Согласно закону сохранения момента импульса сумма моментов импульсов стержня и шарика до удара должна равняться их сумме после удара.

До удара: момент импульса шарика относительно оси вращения стержня в момент удара L 1 = m v (ℓ/2); момент импульса стержня L 2 =0.

После удара: момент импульса стержня и шарика равен

L=(I 1 +I 2) ω,

где I 1 =m (ℓ/2) 2 -момент инерции шарика массой m и I 2 =М ℓ 2 /12 - момент инерции стержня массой М относительно оси вращения, соответственно.

Т.о., L 1 + L 2 =L или

m v (ℓ/2) =(I 1 +I 2) ω= ω.

Из этого выражения следует, что: v=ℓ ω /2.

Подставив ℓ=0,5м; ω=3 рад/с; m=0,01кг; М=0,2кг, получим v=5,75м/с.

Ответ: v=5,75м/с.

Пример 5: При превращении звезды радиуса R 1 =10 6 км, медленно вращавшейся со скоростью точек на поверхности v 1 =10м/с, в нейтронную звезду (пульсар) ее радиус уменьшается в N=10 5 раз. Чему будет равен период Т импульсов электромагнитного излучения пульсара?

Решение: Период импульсов излучения пульсара будет равен его периоду обращения вокруг собственной оси, который можно определить, используя закон сохранения момента импульса: I 1 ω 1 = I 2 ω 2 , где I 1 =2 М R 1 2 /5 –момент инерции звездного шара радиуса R 1 и массы М; ω 1 = v 1 / R 1 -угловая скорость вращения звезды; I 2 =2 М R 2 2 /5 –момент инерции нейтронной звезды радиуса R 2 и массы М; ω 2 = 2π/Т-угловая скорость вращения нейтронной звезды; Т.о., можно записать:

2 М R 1 2 v 1 /(5 R 1)=2 М R 2 2 2π /(5 Т)

и после сокращений и учтя, что: N= R 1 /R 2 , получаем:

Т=2π R 1 /(v 1 N 2)=0,0628с.

Ответ: Т=0,0628с.

Пример 6: Вагон массой m=12т остановился, налетев на пружинный буфер и сжав пружину буфера на Δх=4см. Определить скорость вагона, если жесткость пружины к= 4 10 8 Н/м.

Решение: Применим закон сохранения и превращения энергии: кинетическая энергия вагона переходит в потенциальную энергию сжатой пружины:

m v 2 /2= к Δх 2 /2,

откуда получим:

v=Δх
=4 10 -2
=7,3м/с.

Ответ: v=7,3м/с.

Пример 7: Чему равна кинетическая энергия шара массой m= 8,55кг, который катится без проскальзывания со скоростью v=5м/с?

Решение: В отсутствие проскальзывания v=ω r или

ω = v /r ; момент инерции шара I=2 m R 2 /5. Подставив эти выражения, а затем и числовые данные, в формулу для кинетической энергии катящегося шара:

E K = m v 2 /2 + I ω 2 /2 = m v 2 /2 + m v 2 /5 = 0,7 m v 2 ,

получим Е К =150 Дж.

Ответ: Е К =150 Дж.

Условия задач

61. Частица с электрическим зарядом q=2 мкКл и массой m=3 10 -6 кг влетает в однородное электрическое поле вдоль линии напряженности со скоростью v 1 =5 10 4 м/с. Какую разность потенциалов должна пройти частица, чтобы ее скорость увеличилась до v 2 = 10 5 м/с?

62. Какую скорость может сообщить частице с массой m=2 10 -8 кг и электрическим зарядом q=2 10 -12 Кл, находящейся в состоянии покоя, ускоряющая разность потенциалов в U=100 В?

63. Какую работу требуется совершить, чтобы два электрических заряда q 1 =2мкКл и q 2 =4мкКл, находящиеся на расстоянии r 1 =1,2м, сблизить до

расстояния r 2 =0,4 м?

64. Два точечных электрических заряда q 1 =3мкКл и q 2 =5мкКл находятся на расстоянии r 1 =0,25м. На сколько изменится энергия взаимодействия этих зарядов, если их сблизить до расстояния r 2 =0,1м?

65. Платформа с песком общей масой М =1000кг стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m=10 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью

будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда v =200м/с, а ее направление – сверху вниз под углом α 0 =30 к горизонту.

66. Снаряд массой m=20кг в верхней точке траектории обладал скоростью v=250м/с. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m 1 =5кг получила скорость u 1 =300м/с в прежнем направлении. Определить скорость второй, большей части снаряда после разрыва.

67. Снаряд массой m=20кг в верхней точке траектории обладал скоростью v=300м/с. В этой точке он разорвался на две части. Большая часть снаряда массой m 1 =15кг получила скорость u 1 =100м/с в прежнем направлении. Определить скорость второй, меньшей части снаряда после разрыва.

68. Пуля массой m=10г, летевшая горизонтально со скоростью v =250м/с, попала в висящий на нити деревянный шар массой М =1кг и застряла в нем. На какую высоту, откачнувшись после удара, поднялся шар?

69. Пуля массой m=10г, летевшая горизонтально со скоростью v =250м/с, попала в висящий на нити деревянный шар массой М =1,5кг и застряла в нем. На какой угол в результате этого высоту отклонился шар?

70. Пуля массой m=15г, летевшая горизонтально, попала в висящий на нити деревянный шар массой М =2,5кг и застряла в нем. В результате этого шар отклонился на угол, равный 30 0 . Определить скорость пули.

71. Пуля массой m=10г, летевшая горизонтально со скоростью v=200м/с, попала в висящий на нити деревянный шар и застряла в нем. Чему равна масса шара, если шар, откачнувшись после удара, поднялся на высоту h=20см?

Условия I тура и II тура

5-7 классы, 8-9 классы

1. Какие из перечисленных астрономических явлений - равноденствия, солнцестояния, полнолуния, затмения Солнца, затмения Луны, противостояния планет, максимумы метеорных потоков, появление ярких комет, максимумы блеска переменных звёзд, вспышки сверхновых - происходят каждый год точно приблизительно в одни и те же даты (с точностью до 1-2 дней)?

В хрустальной росе

даже тени и те скруглены,

В Серебряной Речке

на дне половинка луны.

Кто весть принесёт,

письменами вышив парчу?

Нахмуривши брови,

гашу, наконец-то, свечу...

10 класс, 11 класс

1. В 2010 году противостояние Сатурна произойдёт 22 марта.

2. В ХХ веке произошло 14 прохождений Меркурия по диску Солнца:

II тур

5-7 классы, 8-9 классы

10 класс, 11 класс

m , а во время наибольшей элонгации
–4.4 m

РЕШЕНИЯ

I тур

5-7 классы, 8-9 классы

1. Какие из перечисленных астрономических явлений - равноденствия, солнцестояния, полнолуния, затмения Солнца, затмения Луны, противостояния планет, максимумы метеорных потоков, появление ярких комет, максимумы блеска переменных звёзд, вспышки сверхновых - происходят каждый год точно приблизительно в одни и те же даты (с точностью до 1-2 дней)?

Решение. Ежегодно повторяются те астрономические явления, которые связаны только с движением Земли по орбите вокруг Солнца, то есть равноденствия, солнцестояния и максимумы метеорных потоков. Эти явления повторяются приблизительно в одни и те же даты, например, весеннее равноденствие приходится на 20 или 21 марта, поскольку в нашем календаре есть високосные годы. У метеорных потоков неточное повторение дат максимумов связано также и с дрейфом их радиантов. Остальные упомянутые явления либо имеют периодичность, отличную от земного года (полнолуния, затмения Солнца, затмения Луны, противостояния планет, максимумы блеска переменных звёзд), либо вообще непериодичны (появление ярких комет, вспышки сверхновых).

2. В учебнике астрономии белорусских авторов А.П.Клищенко и В.И.Шупляка помещена такая схема лунного затмения. Что в этой схеме неправильно?

Решение. Луна должна быть почти втрое меньше диаметра земной тени на расстоянии лунной орбиты. Ночная сторона нашего спутника, разумеется, должна быть тёмной.

3. Вчера наблюдалось покрытие Луной звёздного скопления Плеяды. Может ли завтра произойти солнечное затмение? Лунное затмение?

Решение. Затмения происходят тогда, когда Луна в полнолуние или новолуние оказывается вблизи эклиптики. Плеяды расположены примерно на 5 градусов севернее эклиптики, и покрывать их Луна может только находясь на наибольшем удалении от узлов своей орбиты. Вблизи эклиптики она окажется только через неделю. Поэтому завтра ни солнечное, ни лунное затмение произойти не может.

4. Вот строки из стихотворения классического китайского поэта Ду Фу "Речная луна" (перевод Э.В.Балашова):

В хрустальной росе

даже тени и те скруглены,

В Серебряной Речке

на дне половинка луны.

Кто весть принесёт,

письменами вышив парчу?

Нахмуривши брови,

гашу, наконец-то, свечу...

Нетрудно догадаться, что Серебряной Рекой китайцы называют Млечный Путь. В каком месяце года сделано это наблюдение?

Решение. Итак, "половинка Луны" видна на фоне Млечного Пути. Перемещаясь вблизи эклиптики, Луна пересекает Млечный Путь дважды в месяц: на границе Тельца и Близнецов и на границе Скорпиона и Стрельца, то есть вблизи точек солнцестояний. "Половинка Луны" может быть как растущей, так и стареющей и располагаться как на 90 о западнее Солнца, так и на 90 о восточнее. В обоих случаях получается, что Солнце находится на эклиптике вблизи точек равноденствий. Итак, наблюдение сделано в марте или в сентябре.

10 класс, 11 класс

В каком месте ЗемлиСатурн можно увидеть в зените в этом году?

Какова будет высота Сатурна над горизонтом в местную полночь 22 марта при наблюдении из Москвы (широта 55 о 45’)?

Решение. Поскольку противостояние Сатурна почти совпадает по времени с весенним равноденствием, сама планета находится в 2010 году вблизи точки осеннего равноденствия, то есть на небесном экваторе (d=0 o) . Поэтому через зенит она проходит для наблюдается, находящегося на экваторе Земли.

22 марта Сатурн будет располагаться на небесной сфере напротив Солнца, поэтому в местную полночь он будет в верхней кульминации. Применим формулу для расчёта высоты светила в кульминации: h = (90 o – f ) + d , h = 34 о 15’.

2. * В ХХ веке произошло 14 прохождений Меркурия по диску Солнца:

Почему прохождения наблюдаются только в мае и ноябре? Почему ноябрьские прохождения наблюдаются значительно чаще майских?

Решение. Спроецироваться для земного наблюдателя на диск Солнца внутренняя планета может только тогда, когда в момент нижнего соединения она находится вблизи плоскости эклиптики, то есть вблизи узлов своей орбиты. Узлы орбиты Меркурия ориентированы в пространстве так, что на одной линии с ними Земля оказывается в мае и ноябре.

Орбита Меркурия существенно эллиптична. В ноябре, вблизи перигелия своей орбиты, планета находится ближе к Солнцу (и дальше от Земли), и потому проецируется на диск Солнца чаще, чем в мае, вблизи афелия.

3. На сколько процентов отличается количество солнечного света, падающего на Луну в фазе первой четверти и в фазе полнолуния?

Решение. Освещённость лунной поверхности обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца до Луны. В фазе первой четверти Луна находится на расстоянии примерно 1 а.е. от Солнца, в фазе полнолуния – в среднем на 384400 км дальше.

4. Во время великого (перигелийного) противостояния видимый угловой диаметр Марса достигает 25”, во время афелийного он составляет всего 13”. Определите по этим данным эксцентриситет орбиты Марса. Большая полуось орбиты Марса – 1, 5 а.е., орбиту Земли считать окружностью.

Решение. Видимый угловой диаметр Марса обратно пропорционален расстоянию между Землёй и планетой. В афелии Марс расположен на расстоянииа м (1+е)от Солнца, в перигелии – на расстоянии а м (1-е). Расстояние между Землёй и Марсом в афелийном и перигелийном противостоянии относятся как

(а м (1+е)-1)/(а м (1-е)-1).

С другой стороны, это отношение равно 25/13. Запишем уравнение и решим его относительно е:

(а м (1+е)-1)/(а м (1-е)-1)=25/13, е=0,1.

II тур

5-7 классы, 8-9 классы

1. Может ли Венера наблюдаться в созвездии Близнецов? В созвездии Большого Пса? В созвездии Ориона?

Решение. Венера может наблюдаться в зодиакальном созвездии Близнецов. Также она может наблюдаться в северной части созвездия Ориона, так как это всего на несколько градусов южнее эклиптики, а отклонение Венеры от эклиптики может достигать 8°. Венера была видна в созвездии Ориона в августе 1996 года. В созвездии Большого Пса, далеком от эклиптики, Венера находиться не может.

2. Звезда взошла в 00 ч 01 м по местному времени. Сколько еще раз она пересечет горизонт в данном пункте в эти сутки?

Решение. Звездные сутки, равные периоду вращения Земли относительно неподвижных звезд, чуть короче солнечных и равны примерно 23 часа 56 минут. Поэтому данная звезда за эти сутки успеет зайти за горизонт и вновь взойти в 23 часа 57 минут по местному времени, то есть пересечет горизонт еще дважды (если, конечно, за оставшиеся три минуты звезда не зайдет обратно за горизонт).

3. Объясните, почему каким бы ни было увеличение телескопа, мы не можем увидеть в его окуляр диски далеких звезд.

Решение. Минимальный угловой размер объекта, заметного в телескоп, (его “разрешающая сила”) определяется размером объектива и свойствами земной атмосферы, через которую проходит свет звезды. Волновая природа света приводит к тому, что даже совершенно точечный источник будет виден в телескоп как диск, окруженный системой колец. Размер этого диска тем меньше, чем больше диаметр объектива телескопа, но даже для крупных телескопов он составляет порядка 0.1 угловой секунды. Кроме этого, изображение размывается земной атмосферой, и размеры “дисков дрожания” звезд редко бывают меньше одной угловой секунды. Истинные угловые диаметры далеких звезд значительно меньше, и мы не можем увидеть их в телескоп, какое увеличение мы бы ни использовали.

4. Опишите вид звездного неба с одного из галилеевых спутников Юпитера. Удастся ли с него увидеть невооруженным глазом Землю и Луну отдельно?

Решение. Главными светилами на небе галилеевых спутников Юпитера будут Солнце и сам Юпитер. Солнце будет ярчайшим светилом неба, хотя оно будет значительно слабее и меньше, чем на Земле, поскольку Юпитер и его спутники находятся в 5 раз дальше от Солнца, чем наша планета. Юпитер, напротив, будет иметь огромные угловые размеры, но светить он будет все же слабее Солнца. При этом Юпитер будет виден только с половины поверхности спутника, оставаясь неподвижным на небе, так как все галилеевы спутники, как Луна к Земле, повернуты к Юпитеру одной стороной. В своем движении по небу Солнце на каждом обороте будет заходить за Юпитер, и будут происходить солнечные затмения, и лишь при наблюдении с самого удаленного спутника, Каллисто, затмения может не наступить.

Кроме Солнца и Юпитера, на небе будут хорошо видны остальные спутники этой планеты, во время противостояний с Солнцем очень ярким (до –2 m ) будет Сатурн, немного ярче станут и другие, более удаленные планеты Солнечной системы: Уран, Нептун и Плутон. А вот планеты земной группы будут видны хуже, и дело не столько в их блеске, сколько в малом угловом расстоянии от Солнца. Так, наша Земля будет внутренней планетой, которая даже во время наибольшей элонгации будет отходить от Солнца всего на 11° . Однако этого углового расстояния может быть достаточно для наблюдений с поверхности спутника Юпитера, лишенного плотной атмосферы, рассеивающей свет Солнца. Во время наибольшей элонгации расстояние от системы Юпитера до Земли составит

Здесь a и a 0 - радиусы орбит Юпитера и Земли. Зная расстояние от Земли до Луны (384400 км), мы получаем максимальное угловое расстояние между Землей и Луной, равное 1¢ 43.8² , что в принципе достаточно для их разрешения невооруженным глазом. Однако блеск Луны в этот момент будет составлять +7.5 m , и она не будет видна невооруженным глазом (блеск Земли будет около +3.0 m ). Земля и Луна будут намного ярче вблизи верхнего соединения с Солнцем (–0.5 m и +4.0 m соответственно), но в это время их будет трудно увидеть в лучах дневного светила.

10 класс, 11 класс

1. Как будут идти маятниковые часы, доставленные с Земли на поверхность Марса?

Решение. Ускорение свободного падения на поверхности планеты g равно

где M и R - масса и радиус планеты. Масса Марса составляет 0.107 от массы Земли, а его радиус - 0.533 радиуса Земли. В итоге, ускорение свободного падения g на Марсе равно 0.377 от этой же величины на Земле. Период колебаний часов T с маятником длины l равен

и маятниковые часы на Марсе будут идти в 1.629 раз медленнее, чем на нашей планете.

2. Предположим, что сегодня Луна в фазе первой четверти покрывает звезду Альдебаран (a Тельца). Какой сейчас сезон года?

2 Решение. Звезда Альдебаран находится неподалеку от эклиптики в созвездии Тельца. Солнце проходит эту область неба в конце мая - начале июня. Луна в фазе первой четверти отстоит от Солнца на 90 ° к востоку и находится в том месте неба, куда Солнце придет через три месяца. Следовательно, сейчас конец февраля - начало марта.

3. Блеск Венеры во время верхнего соединения равен –3.9 m , а во время наибольшей элонгации –4.4 m . Чему равен блеск Венеры в этих конфигурациях при наблюдении с Марса? Расстояние от Венеры до Солнца равно 0.723 а.е., а от Марса до Солнца 1.524 а.е.

3 Решение Фаза Венеры равна 1.0 в верхнем соединении и 0.5 в наибольшей элонгации вне зависимости от того, проводим ли мы наблюдения с Земли или с Марса. Таким образом, нам нужно всего лишь рассчитать, на сколько изменится расстояние до Венеры в той или иной конфигурации, если пункт наблюдения переместится с Земли на Марс. Обозначим через a 0 радиус орбиты Венеры, а через a - радиус орбиты планеты, с которой ведутся наблюдения. Тогда расстояние до Венеры в момент ее верхнего соединения будет равно a+a 0 , что составляет 1.723 а.е. для Земли и 2.247 а.е. для Марса. Тогда звездная величина Венеры во время верхнего соединения на Марсе будет равна

m 1 =–3.9 + 5 lg (2.247/1.723) = –3.3.

Расстояние до Венеры в момент наибольшей элонгации равно

и составляет 0.691 а.е. для Земли и 1.342 а.е. для Марса. Звездная величина Венеры в момент наибольшей элонгации равна

m 2 = –4.4 + 5 lg (1.342/0.691) = –3.0.

Интересно, что Венера светит на Марсе (как и Меркурий на Земле) в наибольшей элонгации слабее, чем в верхнем соединении.

4. Двойная система состоит из двух одинаковых звезд с массой 5 масс Солнца, обращающихся по круговым орбитам вокруг общего центра масс с периодом 316 лет. Удастся ли разрешить эту пару визуально в телескоп "ТАЛ-М" с диаметром объектива 8 см и увеличением окуляра 105 X , если расстояние до нее равно 100 пк?

4 Решение. Определим расстояние между звездами по III обобщенному закону Кеплера:

Здесь a - большая полуось орбиты (равная расстоянию между звездами в случае круговой орбиты), T - период обращения, а M - суммарная масса двух тел. Сравним данную систему с системой Солнце-Земля. Суммарная масса двух звезд в 10 раз превышает массу Солнца (масса Земли вносит ничтожно малый вклад), а период превышает период обращения Земли в 316 раз. В итоге, расстояние между звездами составляет 100 а.е. С расстояния в 100 пк эти две звезды будут видны не более чем в 1 ² друг от друга. Разрешить такую тесную пару в телескоп “ТАЛ-М” не удастся, какое увеличение мы бы ни использовали. В этом нетрудно убедиться, рассчитав размер дифракционных дисков данных звезд по известной формуле для зелено-желтых лучей:

где D - диаметр объектива в сантиметрах. Здесь мы не учли влияние земной атмосферы, которое еще больше усугубит картину. Итак, данная пара будет видна в телескоп “ТАЛ-М” только как одиночная звезда.

Массу - одну из важнейших физических характеристик звезд - можно определить по ее воздействию на движение других тел. Такими другими телами являются спутники некоторых звезд (тоже звезды), обращающиеся с ними вокруг общего центра масс.

Если вы посмотрите на Большой Медведицы, вторую звезду с конца «ручки» ее «ковша», то при нормальном зрении вы увидите совсем близко от нее вторую слабую звездочку. Ее заметили еще древние арабы и назвали Алькор (Всадник). Яркой звезде они дали название Мицар. Их можно назвать двойной звездой. Мицар и Алькор отстоят друг от друга на . В бинокль таких звездных пар можно найти немало. Так, Лиры состоит из двух одинаковых звезд 4-й звездной величины с расстоянием между ними 5.

Рис. 80. Орбита спутника двойной звезды (v Девы) относительно главной звезды, расстояние которой от нас составляет 10 пк. (Точки отмечают измеренные положения спутника в указанные годы. Их отклонения от эллипса вызваны погрешностями наблюдений.)

Двойные звезды называются визуально-двойными, если их двойственность может быть замечена при непосредственных наблюдениях в телескоп.

В телескоп Лиры - визуально-четверная звезда. Системы с числом звезд называются кратными.

Многие из визуально-двойных звезд оказываются оптически-двойными, т. е. близость таких двух звезд является результатом случайной проекции их на небо. На самом деле в пространстве они далеки друг от друга. И в течение многолетних наблюдений можно убедиться, что одна из них проходит мимо другой, не меняя направления с постоянной скоростью. Но иногда при наблюдении звезд выясняется, что более слабая звезда-спутник обращается вокруг более яркой звезды. Систематически меняются расстояния между ними и направление соединяющей их линии. Такие звезды называются физическими двойными, они образуют единую систему и обращаются под действием сил взаимного притяжения вокруг общего центра масс.

Множество двойных звезд открыл и изучил известный русский ученый В. Я. Струве. Самый короткий из известных периодов обращения визуально-двойных звезд - 5 лет. Изучены пары с периодами обращения в десятки лет, а пары с периодами в сотни лет изучат в будущем. Ближайшая к нам звезда а Центавра является двойной. Период обращения ее составляющих (компонентов) 70 лет. Обе звезды в этой паре по массе и температуре сходны с Солнцем.

Главная звезда обычно не находится в фокусе видимого эллипса, описываемого спутником, потому что мы видим его орбиту в проекции искаженной (рис. 80). Но знание геометрии позволяет восстановить истинную форму орбиты и измерить ее большую полуось а в секундах дуги. Если известно расстояние до двойной звезды в парсеках и большая полуось орбиты звезды-спутника в секундах дуги, равная то в астрономических единицах (поскольку она будет равна:

Важнейшей характеристикой звезды наряду со светимостью является ее масса. Прямое определение массы возможно лишь для двойных звезд. По аналогии с § 9.4, сравнивая движение спутника

звезды с движением Земли вокруг Солнца (для которой период обращения 1 год, а большая полуось орбиты 1 а. е.), мы по третьему закону Кеплера можем написать:

где - массы компонентов в паре звезд, - массы Солнца и Земли, период обращения пары в годах. Пренебрегая массой Земли в сравнении с массой Солнца, мы получаем сумму масс звезд, составляющих пару, в массах Солнца:

Чтобы определить массу каждой звезды отдельно, надо изучить движение каждой из них относительно окружающих звезд и вычислить их расстояния от общего центра масс. Тогда имеем второе уравнение:

К и из системы двух уравнений находим обе массы отдельно.

Двойные звезды в телескоп нередко представляют собой красивое зрелище: главная звезда желтая или оранжевая, а спутник белый или голубой. Вообразите себе богатство красок на планете, обращающейся вокруг одной из пары звезд, где на небе сияет то красное Солнце, то голубое, то оба вместе.

Определенные описанными методами массы звезд различаются гораздо меньше, чем их светимости, примерно от 0,1 до 100 масс Солнца. Большие массы встречаются крайне редко. Обычно звезды обладают массой меньше пяти масс Солнца. Мы видим, что с точки зрения светимости и температуры наше Солнце является рядовой, средней звездой, ничем особым не выделяющейся.

(см. скан)

2. Спектрально-двойные звезды.

Если звезды при взаимном обращении подходят близко друг к другу, то даже в самый сильный телескоп их нельзя видеть раздельно, в этом случае двойственность может быть определена по спектру. Если плоскость орбиты такой пары почти совпадает с лучом зрения, а скорость обращения велика, то скорость каждой звезды в проекции на луч зрения будет быстро меняться. Спектры двойных звезд при этом накладываются друг на друга, а так как разница в скоростях этих

Рис. 81. Объяснение раздвоения, или колебания, линий в спектрах спектральнодвойных звезд.

звезд велика, то линии в спектре каждой из них будут смещаться в противоположные стороны Величина смещения меняется с периодом, равным периоду обращения пары Если яркости и спектры звезд, составляющих пару, сходны, то в спектре двойной звезды наблюдается периодически повторяющееся раздвоение спектральных линий (рис. 81). Пусть компоненты занимают положения или тогда один из них движется к наблюдателю, а другой - от него (рис. 81, I, III). В этом случае наблюдается раздвоение спектральных линий. У приближающейся звезды спектральные линии сместятся к синему концу спектра, а у удаляющейся - к красному. Когда же компоненты двойной звезды занимают положения или (рис 81, II, IV), то оба они движутся под прямым углом к лучу зрения и раздвоения спектральных линий не получится.

Если одна из звезд светится слабо, то будут видны линии только другой звезды, смещающиеся периодически.

Один из компонентов Мицара сам является спектрально-двойной звездой.

3. Затменно-двойные звезды - алголи.

Если луч зрения лежит почти в плоскости орбиты спектрально-двойной звезды, то звезды такой пары будут поочередно загораживать друг друга. Во время затмений общая яркость пары, компонентов которой мы по отдельности не видим, будет ослабевать (положения В и D на рис. 82). В остальное же время в промежутках между затмениями она почти постоянна (положения А и С) и тем дольше, чем короче длительность затмений и чем больше радиус орбиты. Если спутник большой, но сам дает мало света, то, когда яркая

звезда затмевает его, суммарная яркость системы будет умень шаться лишь ненамного.

Минимумы яркости затменно-двойных звезд происходят при движении их компонентов поперек луча зрения. Анализ кривой изменения видимой звездной величины в функции времени позволяет установить размеры и яркость звезд, размеры орбиты, ее форму и наклон к лучу зрения, а также массы звезд Таким образом, затменно-двойные звёзды, наблюдаемые также и в качестве спектральнодвойных, являются наиболее хорошо изученными системами. К со жалению, таких систем известно пока сравнительно мало

Затменно-двойные звезды называются еще алголями, по названию своего типичного представителя Персея. Древние арабы назвали Персея Алголем (испорченное эль гуль), что значит «дьявол». Возможно, что они заметили ее странное поведение: в течение 2 дней 11 ч яркость Алголя постоянна, затем за 5 ч она ослабевает от 2,3 до 3,5 звездной величины, а затем за 5 ч яркость ее возвращается к прежнему значению.

Периоды известных спектрально-двойных звезд и алголей в основном короткие - около нескольких суток. В общей сложности двойственность звезд очень распространенное явление Статистика показывает, что до 30% всех звезд, вероятно, являются двойными Получение разнообразных данных об отдельных звездах и их системах из анализа спектрально-двойных и затменно-двойных звезд - примеры неограниченной возможности человеческого познания

Рис. 82. Изменения видимои яркости Лиры и схема движения ее спутника (Форма звезд, близко расположенных друг к другу, вследствие их при ливного воздействия может сильно отличаться от сферической )